又来水一波文了，最近改写的没写，想法不少一个写不了唉，先祝大家中秋国庆双倍快乐。----2020.09.30

三次方程嘛，高中题有极低概率出现，因式分解的时候也喜欢出（因为三次方程的因式分解需要猜根或者得出一个解），学完一元二次方程的时候我也会对其感兴趣，那么我就用人话写一些关于一元三次方程的解法。

什么是一元三次方程?由一元二次方程的一般情况

我们自然地可以推导出三次方程的一般情况 ，这里 当然，如果

不等于0的话，完全可以把三次项除掉得到 ，这样不失一般性。当然这样对于初学者还是非常困难的，我们尝试从简单出发，由特殊到一般。我们先列举三次方程的最基本性质一元三次方程有三个根，既是它们可以包含复数根,而且至少有一个实数根。三次方程的韦达定理:

一.从最简单开始

如果三次方程有三个完全一样的根呢？那么类似一元二次方程我们可以知道它一定可以写成完全立方的形式，也就是

的形式，那么我们拆开得到

对比原方程的系数我们可以得到

消去

（有很多种方法）我们可以得到

举个例子还有

当然，还可以列举更多.这里，我们把

用三个式子联系起来了，这样它们的取值就不再是独立的了而是互相关联的，也就是说，如果同时满足（当然还可以有其他的等式，只需要三个就可以）

那么我们可以自豪地说:这个三次方程有三个完全相同的根！为了方便，我们可以把它们记作

即

...

当然，你随手一写的三次方程几乎是碰不到三个完全相同的根的情况的，毕竟要满足的条件太苛刻了，我们就退而求其次：如果这个方程只有两个相同的根呢？

二.退而求其次

方程只有两个相等的根了！我们这个时候从韦达定理入手！因为

，列出

这个方程可不可以解出一些东西呢？仔细思索发现：可以！

带入第三个式子得到

这里我们可能会想：怎么还是三次方程！

或者我们可以带入第二个式子得到

或者把第三个式子消去

带入第二个式子里面我们又可以得到

把它们整理好列出来，我们可以得到

毋庸置疑，这三个方程是我们消去

得到的，因此他们的解都含有所需要重根,但是因为它们都不是同一个方程，所以每个方程又会存在增根，因此我们再做整理得到

把（3）-（1）得到

（请注意这个式子与（2）的高度相似性）.当然，我们化简得到的方程是二次方程，依然存在一个增根，因此我们考虑和（2）相减消去二次项.假定

我们得到

相减得到

最后化简得到

看！又出现了前面我们的

代替得到 ，至此，这个方程变成了一元一次方程，它的解正是原方程的重根解！当然，我们似乎还可以做些什么？既然我们可以消去最高项，为什么不可以消去最低项呢？想到有重根的三次方程不可能每次的根都是0,因此我们把常数项移去得到

相减，并且除去

得到

也即

看！又出现了

，即 ，这个也是一元一次方程，它的解就是原方程的重根解！..

..

..

如果到这里就结束那也太没有意思了，根据前面的结果，如果一元三次方程有两个相等的根，那么它的根就是

，看到了吗？两个一元一次方程的解是一样的，那么我们就可以得到 （多么震惊的，优美的结果！）这个式子说明了如果

那么方程至少会存在两个相等的实数根（也有可能是3个，除非 ），这个式子让人想起想起了一元二次方程的判别式，而我们搞到的这个式子似乎也具有判别效力！我们是不是可以把它叫做判别式？（至少能判别重根）.而这个结论正是百度可以搜到了“盛金判别式”三.最难的一步

三次方程的特殊情况至此讨论的差不多了，如果三次方程没有重根，那么我们把它叫做一般三次方程，而我们可以从缺项的三次方程开始讨论，如果三次方程少掉二次项或者一次项，那么也许问题会简单一点?我们考虑简化的方程

或者 ，最初看来这个方程并不简单，我们和古人一样陷入看困境，在他们看来，一般的一元三次方程是不可能解出来的.但是...有时候在无意之中也可能会遇到希望之花.

当我们在考虑

的时候，偶然发现

的形式恰好对应了 的情况！（也许当时的塔尔塔利亚也是这么想的吧）我们对比两个方程的系数得到

整理得到

看！这里明显是一个以

和 为两个根的一元二次方程（这种方程我们叫做预解式方程）的韦达定理！这个方程就是

,解得

我们开立方得到

所以

的解就是

非常美观

四.结束了

我们解开了形如

的情形，但是情况是，正常情况下有二次项的三次方程怎么办？我们是否可以通过线性变换来消去二次项呢？答案是可以的，对于一般的三次方程 来说，我们希望通过变换 来消去二次项从而得到简化三次方程，带入我们得到

即

（既然是与 无关的，即可以简化为 ），即作变换 ，因此我们就可以把一般的三次方程化成简化三次方程从而按照上一节的方法求解.五.结束了?

记得最开始提出的一个最基本的性质：一元三次方程有三个根，可是按照上面的方法我们只能得到一个解，那么剩下的去哪了？（虽然我们可以根据韦达定理列出一元二次方程）.这就得讲到一个重要的概念了：单位根.

讲一个简单的例子：我们尝试解决

的时候，开根号得到 ，那么，另一个根去哪了？你也许会反驳：开平方不是 吗？那么你怎么知道要加正负号（更确切地说是正负一）的？我们开立方是不是也需要乘三个数 ，即 （ )?结果是肯定的,而这三个数正是三次方程的单位根 的解，通过因式分解我们可以得到

，因此可以解得

没错，这正是三个单位根！

回到

和 的时候，我们在开立方的时候应该每个都会得到3个结果，即

那么

就有 种结果，可是方程的解只有3个，说明其中有6个是多余的，那么如何排除掉这些“增根”呢?我们就要找约束条件，那么我们反过来找思路： 和 有哪些等式呢？无非就是 和 ，考虑到 ，因此无论 取何值都是满足第一个式子的，因此我们只能把目光聚焦在第二个式子上面，注意到 （韦达定理）得到 ，因此 ，所以我们找到了三个解

因此大功告成！

六.新的时代

我们得到了新的公式！马上用来练练手吧！我随便写了一个方程

，先进行变换 带入得到 （我没想到这么简洁啊），解方程

得到 ,开立方得到

和 并且根据上述组合得到原方程的三个解为

呼！太壮观了.

然而在解决某些问题时候可能遇到了点麻烦,比如解方程

的时候根据公式我们可以得到 的荒谬结果，它的根明明是2，3和-5，为什么会得到这个负数开根号的情况呢（当然习惯了复数以后就没什么了）？这个问题在塔尔塔利亚时代可谓是无法想象！后来人们为了解释这种怪诞现象的现象，复数理论得以发展.七.后记

时光流逝，当初的世界性难题在此看来不过是茶余饭后的思考题罢了，我们从中应该要了解到的不是三次方程本身，而是这种敢于探索另辟蹊径的精神和纪念人们在数学发展的历程中所做出的努力和贡献，也许三次方程问题本身并不会改变世界，但是它的“荒谬结果”却大大加快了复数理论的发展和壮大...感谢观看！如果有想要补充的有空我会考虑补充的.