到底代表什么
“十进制数 2127 代表什么？”
这或许是个很弱智的问题，但是
(2127)10
实际上表示：
2×103+1×102+2×101+7×100
这么写虽然看起来没什么卵用，但我想说明的是：第一个位置的 “2” 和第三个位置的 “2” 并不是一个 “2”，第一个表示的是
2000
，即
2×103
，而另一个表示的是
20
，即
2×101
。
不同位置的 “2” 虽然都是 “2”，但是它们代表的 “大小“ 却并不相同。
我不清楚设计者为什么会创造这样的记数方式，但是这种方法确实可以有效地帮助我们理解其他进制的数，例如……
“二进制数 11010 代表多少？”
尽管很难一眼就看出这是多少，但是如果我们把它也转变为上面的写法，即：
(11010)2===1×24+1×23+0×22+1×21+0×2016+8+2(26)10
这样或许就能更容易地理解这个二进制数到底是“多少”，而实际上这也是二进制数转化为十进制数的方法。
所谓 “进制” 就是 “进位的方法”。十进制是逢十进位，用 0~9 十个数字，二进制是逢二进一，用 0、1 两个数字。同样 N 进制就是逢 N 进一，用 0~N-1 共 N 个符号表示。
一个 N 进制数从右往左数第 m 个数
a
代表的 ”大小“ 就是 a×Nm−1，将各个位上的数所代表的 ”大小” 加起来就是这个数实际的 “大小” 。
关于短除法
那么十进制数如何转换为二进制数呢？
一种十分常见的方法是 “短除法”，即 “除二取余，商零为止，余数倒排”。
比如说，将
(26)10
转化为二进制数的过程为：
26÷2=13÷2=6÷2=3÷2=1÷2=13…06…13…01…10…1
像上面这样，不断地除以 2，直到商为 0 为止，然后将得到的余数倒过来排列，就得到结果：
(26)10=(11010)2
短除的原理
假设有一个二进制数 abcd，其中每个字母代表一个 0 或 1 。我们假设这个数等于十进制数 12 吧。那么我们要怎么计算 a、b、c、d 到底是 0 还是 1 呢？
按照第一节中数的意义，将 abcd 从二进制转换成十进制，那么会得到：
(abcd)2==a×23+b×22+c×21+d×20(12)10
于是我们得到了一个等式：
a×23+b×22+c×21+d×20=12
不过这是个一元四次方程，似乎并不能得到唯一解……
但是实际上我们忽略了两个重要的约束条件：
a、b、c、d 都是正整数。它们不是 0 就是 1。
别小看这点条件，它们的作用可是顶得上两个等式的！
首先观察一下上述等式，我们发现，除了 d 之外，a、b、c 都有共同的系数 2，于是我们就可以对前三项进行因式分解：
2×(22a+21b+c)+d=12
我们将括号内的内容看成一个整体，就叫
k
吧，不难证明 k 是个正整数，于是式子就简化成：
2k+d=12
而我们知道 d 不是 0 就是 1，
k
又是正整数，那么这个式子不就等价于：
12÷2=k…d
是吧？d 就是 12 除以 2 的余数，显然 d 就是 0 了！（因为 d 是 1 的话 k 就不可能是整数）那么 k 就是 6，即：
22a+21b+c=6
这个式子很熟悉是不是，除了最后一项，前几项都有公共系数 2，于是我们又可以按照前面的套路进行因式分解：
2(2a+b)+c=6
于是我们可以用与前面完全相同的方式处理，得到：
6÷2=(2a+b)…c
于是就得出 c 是 0，
2a+b
是 3 。
仔细看看，这不是就和短除法一模一样的过程吗？
没错，可以这样一直算到头，并且证明方法完全相同：
2a+b=3
可得出 a 和 b，都是 1，而 c、d 都是 0，于是最终得到：
(12)10=(1100)2
总结
所以说，短除法不过是简单的逆运算，因为有了正整数和大小的约束条件，即使只有一个等式，我们可以得出唯一的正确解。
不仅是十进制和二进制，其他进制，甚至是负进制。只要理解了通过因式分解可以将等式变成整数的带余数除法等式，再进行递归计算余下部分这一思路，剩下的只是加加减减上的不同。
有兴趣的同学可以试试 这道负进制转换的题，当时想了半天的说……（NOIP2000 D1T1 我竟然都做得这么费劲/(ㄒoㄒ)/~~）